...是多少[a,b]代表最小公倍数 (a,b)代表最大公约数 a大于b

发布网友 发布时间：2024-07-03 11:51

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热心网友 时间：2024-07-12 01:08

答：为方便起见，设a、b的最大公约数是K，则由题知，a/K与b/K互质，所以二者的最小公倍数为：K×a/K×b/K=ab/K。那么已知就转化为：ab/K+K=1085。进一步变形为：K×(ab/K^2+1)=1085=1×5×7×31，所以最大公约数K的可能值是：1、5、7、31、5×7、5×31、7×31，但1×5×7×31=1085不符，因K<1085，故不考虑。
由K×(ab/K^2+1)=1×5×7×31可知，K与ab/K^2+1同为奇数，所以ab/K^2=a/K×b/K必为偶数，又因a/K、b/K互质，所以a、b必定是一奇一偶。
要求出a-b的最小值，就是找到两个尽可能接近的正整数a、b，
只有将K的可能值，代入K×(ab/K^2+1)=1085=1×5×7×31，逐个试验：
试验技巧：其中a、b一奇一偶，形如2^n的不必分解，且a、b必须各含一个K，因K^2=K×K，不必分解。如此可以大大减少运算量。

(1)K=1，得ab=1084=271×4，只有271和4，a-b=267；
(2)K=5，得ab=216×5^2=8×3×3×3×5^2，较接近的是3×5×8、5×3×3，a-b=120-45=75；

（说明：分组时a、b各分一个最大公约数K=5，剩下的因数8、3、3、3再作分组，运算量不大，以下的可以这样分组。）

(3)K=7，得ab=154×7^2=2×7×11×7^2，较接近的是2×7×7=98，7×11=77，a-b=98-77=21；
(4)K=31，得ab=34×31^2=2×17×31^2，较接近的是17×31、2×31，a-b=465；
(5)K=5×7，得ab=30×(5×7)^2=2×3×5×(5×7)^2，较接近的是2×3×5×7、5×5×7，a-b=210-175=35；
(6)K=5×31，得ab=6×(5×31)^2=2×3×(5×31)^2，较接近的是3×5×31、2×5×31，a-b=155；
(7)K=7×31，得ab=4×(7×31)^2，较接近的是4×7×31、7×31，a-b=651。

所以最小的a-b=21。此时a=98，b=77。

热心网友 时间：2024-07-12 01:06

我不想计算了``提示一下，当a,b互质时，（a,b）=1
找找有没有这样的互质数
Ps:偶真滴不想算```

热心网友 时间：2024-07-12 01:06

也没想到什么好的办法，枚举吧。

记d = (a, b)，a1 = a / d，b1 = b / d。
注意到a1 * b1 * d = [a, b] < 1085 < 33 * 33
而a1 > b1，所以0 < b1 < 33，于是0 < d < 33，组数有限，可以枚举试验求解。按d枚举，利用式子ab = d(1085 - d)
d = 1时，ab = 2 * 2 * 271，a - b最小为271 - 4 = 267。
d = 2时，ab = 2 * 3 * 19 * 19，则a - b最小为19*2 - 19*3 = 19。由于a - b是(a, b)的倍数，所以只要试d < 19。
d = 3时，ab = 2 * 3 * 541（素），最小为541 - 6 = 535。
……
d = 18时，ab = 18 * 1067（素），最小为1067 - 18 = 1049
运算量蛮大的，详细就不写了。