正定二次型

发布网友发布时间：2024-07-03 03:36

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热心网友时间：2024-07-09 21:38

定义：正定的精髓

当每一个非零实数向量 (x_1, x_2, ..., x_n)与实二次型 Q(x) = x^T A x相乘，结果总是正的，即 Q(x) >0，我们称这样的二次型 A为正定的。这种性质使得正定性在数学领域中具有重要地位。

命题：正定型的不变性

非退化实线性变换，即通过一个可逆矩阵 P，可以保持二次型的正定性。如果原二次型 Q(x)是正定的，经过这样的变换后，得到的新形式 P^T A P依然保持正定性。

证明过程

假设原二次型 Q(x)的矩阵表示为 A，经过非退化变换 P后，得到 B = P^T AP。对于任意向量 y = Px，有 Q'(y) = y^T B y = (Px)^T P^T A P (Px) = x^T A x = Q(x)。由于 P可逆，y与 x有相同的性质，即 y不全为零时，Q'(y)必为正。从而证明了非退化实线性替换确实保持了正定型。

正定二次型的性质与指数

一个具有 n自由度的实二次型 Q(x)如果正定，其正惯性指数恰好等于 n。这意味着在规范形表示中，Q(x)可以写成正交矩阵 O的平方和的形式，即 Q(x) = x^T O^T O x。

对称矩阵的正定性

若一个实对称矩阵 B的二次型 Q(x)正定，那么 B自身就是正定矩阵，其行列式 \det(B) >0，这是正定性的重要标志。

顺序主子式的威力

对于正定二次型 Q(x)，其矩阵 A的顺序主子式全为正，这是证明正定性的有力工具。主子式的正性确保了 Q(x)与向量 x的交互始终是正的。

半正定与负定的界定

相反，如果对于所有向量，Q(x) \geq 0（包括零向量），那么称 Q(x)为半正定；若 Q(x) \leq 0，则为半负定。如果既非半正定也非半负定，二次型就被定义为不定的。

正定二次型的等价条件

对于实对称二次型 Q(x)，若它是半正定的，那么它的正负惯性指数与秩相等，并且存在实可逆矩阵 P使得 P^T AP的主子式全大于零或等于零，这揭示了正定性的深刻内涵。