有界数列必有收敛子列证明中把区间二等分后其中必有一项包含无穷多个xn...
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发布时间：2024-07-03 17:09
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热心网友
时间：2024-07-19 17:43
首先设c<=x_k<=d,对于所有k成立,这里运用了有界的条件.
其次,记c_1=c,d_1=d,将[c,d]按区间长度平均一分为二,显然数列中有无穷多项在分出来的两部分中的一部分,记此部分区间为[c_2,d_2],这样继续下去,我们得到了2列数列{c_k}与{d_k}且对任意的k都有[c_k,d_k]有原数列中的无穷多项这样一性质.
再次,注意我们的分法是平均一分为二的,即[c_k,d_k]的区间长度是在以1/2的速度缩小的,由闭区间套定理（这证明就麻烦了,略）{c_k}与{d_k}将同时收敛于同一极限.记为y.
最后,既然每一区间[c_k,d_k]都包含原数列的无穷多项,容易知道我们可以从中取出一子列{y_k}使得y_k在区间[c_k,d_k]中,再由极限夹逼性质得到{y_k}的极限即y.
热心网友
时间：2024-07-19 17:47
首先设c<=x_k<=d,对于所有k成立,这里运用了有界的条件.
其次,记c_1=c,d_1=d,将[c,d]按区间长度平均一分为二,显然数列中有无穷多项在分出来的两部分中的一部分,记此部分区间为[c_2,d_2],这样继续下去,我们得到了2列数列{c_k}与{d_k}且对任意的k都有[c_k,d_k]有原数列中的无穷多项这样一性质.
再次,注意我们的分法是平均一分为二的,即[c_k,d_k]的区间长度是在以1/2的速度缩小的,由闭区间套定理（这证明就麻烦了,略）{c_k}与{d_k}将同时收敛于同一极限.记为y.
最后,既然每一区间[c_k,d_k]都包含原数列的无穷多项,容易知道我们可以从中取出一子列{y_k}使得y_k在区间[c_k,d_k]中,再由极限夹逼性质得到{y_k}的极限即y.
