矩阵A可逆,则它的特征向量一定可逆吗?

发布网友发布时间：2024-07-03 17:24

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热心网友时间：2024-08-07 23:22

设A的特征向量为x1,x2,...,xn, 对应的特征值为s1,s2,...,sn
则Ax1 =s1 x1, Ax2=s2x2 ..., Axn = snxn
或A(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn)diag (s1, s2,...,sn)
diag(s1, s2,...,sn)表示(s1, s2,...,sn)为对角元素的方阵
因为x1,x2,...,xn线性无关，所以矩阵(x1,x2,...,xn)满秩可逆
所以
(x1,x2,...,xn)'A(x1,x2,...,xn) = diag(s1,s2,...sn)
其中(x1,x2,...,xn)'为(x1,x2,...,xn)的逆矩阵

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