用极限审敛法判定下列级数的收敛性,注意不是用极限比较审敛法_百度知...

发布网友 发布时间：2024-07-03 17:22

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热心网友 时间：2024-08-09 08:38

1.n>=2时，sin（pie/n)^2<(pie/n)^2(由sinx<x易得)
lim（n趋向无穷）Sn<lim(n趋向无穷)[0+1+pie方/2方+pie方/3方+pie^2/n^2+……]=1+pie^2*{1/2^2+1/3^2+……}<1+pie^2*{1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+……+1/[n*(n+1)]}=1+pie^2*{1/2-1/3+1/3-1/4……+1/n-1/(n+1)}=1+pie^2*[1/2-1/(n+1)]
从而limSn<1+0.5*pie^2
明显Sn递增，同时又有上界，因此Sn收敛
2.n>=2时，n^4+1=(n^2-1)^2+2n^2>(n^2-1)^2=(n+1)^2*(n-1)^2>(n+1)*(n+1/2)*(n-1)^2>(n+1/2)*(n-1)^3
所以2n+1/(n^4+1)<(2n+1)/[(n-1)^3*(n+1/2)=2/(n-1)^3
原式就<sigma(2到n)根号下【2/(n-1)^3】=sigma(从1到n)根号下【2/n^3】=根号2*sigma【从1到n】n^(-1.5)
n^(-1.5)=积分（n-1，n）[n^(-1.5)]dx（注：对x积分，没有x，故n^(-1.5)是常数。）<积分（n-1，n）[x^(-1.5)]dx(注：在（n-1，n）上x<n,x^(-1.5)>n^(-1.5))
原式就<sigma(1到n)积分（n-1，n）【x^(-1.5)】dx=积分（1，n）x^(-1.5)dx=1-2*n^(-0.5)
取极限原式<1
明显Sn递增且有上限。收敛
3.(n+1)/(n^2+1)>(n+1)/(n^2+2n+1)=1/(n+1)
原式就等于sigma(1到无穷)[1/（n+1）]=sigma（2到无穷）（1/n）
由拉格朗日中值定理
ln（n+1）-lnn=1/(n+p)<1/n(其中0<p<1)
Sn>1/2+1/3+……+1/n>(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+……+[ln(n+1)-lnn]=ln(n+1)-ln2
limSn趋向正无穷。故发散

热心网友 时间：2024-08-09 08:38

1.n>=2时，sin（pie/n)^2<(pie/n)^2(由sinx<x易得)
lim（n趋向无穷）Sn<lim(n趋向无穷)[0+1+pie方/2方+pie方/3方+pie^2/n^2+……]=1+pie^2*{1/2^2+1/3^2+……}<1+pie^2*{1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+……+1/[n*(n+1)]}=1+pie^2*{1/2-1/3+1/3-1/4……+1/n-1/(n+1)}=1+pie^2*[1/2-1/(n+1)]
从而limSn<1+0.5*pie^2
明显Sn递增，同时又有上界，因此Sn收敛
2.n>=2时，n^4+1=(n^2-1)^2+2n^2>(n^2-1)^2=(n+1)^2*(n-1)^2>(n+1)*(n+1/2)*(n-1)^2>(n+1/2)*(n-1)^3
所以2n+1/(n^4+1)<(2n+1)/[(n-1)^3*(n+1/2)=2/(n-1)^3
原式就<sigma(2到n)根号下【2/(n-1)^3】=sigma(从1到n)根号下【2/n^3】=根号2*sigma【从1到n】n^(-1.5)
n^(-1.5)=积分（n-1，n）[n^(-1.5)]dx（注：对x积分，没有x，故n^(-1.5)是常数。）<积分（n-1，n）[x^(-1.5)]dx(注：在（n-1，n）上x<n,x^(-1.5)>n^(-1.5))
原式就<sigma(1到n)积分（n-1，n）【x^(-1.5)】dx=积分（1，n）x^(-1.5)dx=1-2*n^(-0.5)
取极限原式<1
明显Sn递增且有上限。收敛
3.(n+1)/(n^2+1)>(n+1)/(n^2+2n+1)=1/(n+1)
原式就等于sigma(1到无穷)[1/（n+1）]=sigma（2到无穷）（1/n）
由拉格朗日中值定理
ln（n+1）-lnn=1/(n+p)<1/n(其中0<p<1)
Sn>1/2+1/3+……+1/n>(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+……+[ln(n+1)-lnn]=ln(n+1)-ln2
limSn趋向正无穷。故发散