已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√(a²+4)+√(b&sup...
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发布时间:2024-07-06 16:01
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时间:2024-07-20 18:35
考点:轴对称-最短路线问题;勾股定理.运用对称分析,借助图形求U的最小值.此题考查了轴对称---最短路径问题,将表达式转化为勾股定理,体现了数形结合在解题中的作用
作线段AB=2,
过A作AC⊥AB,且AC=2,
过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1
在AB上任取一点P,设PA=a,则PB=b,则a+b=2
连结PC,PD
,CD
由勾股定理得
CP=√(a²+2²)=√(a²+4)
DP=√(b²+1²)=√(b²+1)
CD=√[(2+1)²+2²]=√13
由两点之间线段最短得
CP+DP≥CD
即√(a²+4)+√(b²+1)≥√13
所以若a+b=2,则u=√(a²+4)+√(b²+1)
的最小值是√13
解2
分析:将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1)
,得到u的关于a的表达式,再利用勾股定理,将表达式转化为直角三角形两斜边PC、PD的和,利用勾股定理求和即可.
将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1)
得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)
构造如下图形,其中AB=2,AC=2,BD=1,AC⊥AB,BD⊥AB
P是AB上任意一点,点C是点A关于直线AB的对称点
设PA=a,则u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)
=PC+PD
当D、P、E三点共线时,u的值最小,此时由勾股定理可求得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)的最小值为√13
解3
作图可知,最小值相对于点(0,2)和点(2,-1)的距离
相当于求x轴上一点到点(0,2)和点(2,1)的距离和的最小值
,也就是√13