矩形,菱形,正方形,平形四边形,三角形的定义与判定?
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发布时间：2022-05-06 15:18
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时间：2022-07-01 04:20
定义
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的对角线相等，四个角都是直角
性质
1．矩形的两个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它有两条对称轴。
5．矩形具有平行四边形的所有性质
判定(数学表达式)
一（通过平行四边形）
①在平行四边形ABCD中： ∠BAD=90 BD=AC ∴平行四边形ABCD为矩形。 ∴平行四边形ABCD为矩形。
二（通过四边形）
②在四边形ABCD中： ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90º ∴四边形ABCD为矩形。
说明：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与定理不同，则需要利用定义和判定定理证明或举反例，才能下结论．
面积
S=ah(注:a为边长,h为该边上的高) S=ab(注:a为长,b为宽)
菱形
定义
在一个平面内,一组邻边相等的平行四边形是菱形.
性质
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角，
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形, 6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。 7、菱形具备平行四边形的一切性质。
判定
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形 ，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形。）
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
面积
1.对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；
2.底乘高=菱形面积。
正方形
定义
在同一平面内,四条边都相等且一个角是直角的四边形是正方形。
you一组邻边相等的矩形是正方形。
有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形。
有一个角为直角的菱形是正方形。
四边形对角线相等且互相垂直平分
性质
1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
2、内角：四个角都是90°；
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
5、形状：正方形也属于长方形的一种。
判定
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
4：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
5：一组邻边相等的矩形是正方形。
6：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
7：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
8：有一个角为直角的菱形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
面积
S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2
平行四边形
定义
在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的一组对边平行且相等。 （简述为“平行四边形的对边平行且相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对边分别平行。 （简述为“平行四边形的对边平行”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的对边相等”）
（4）如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的对角相等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两条对角线互相平分。 （简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）
（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
（7）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。
（8）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（9）平行四边形的对角相等，两邻角互补。
（10）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（11）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
判定
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（不可直接证明为平行四边形）
面积
（1）平行四边形的面积公式：底×高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积， 则S平行四边=ah
（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积， 则S平行四边形=ab*sinA
三角形
定义
由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形。三角形可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形
性质
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系（a^2+b^2=c^2。） 那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。
11.等底等高的三角形面积相等。
12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
16.全等三角形对应边相等，对应角相等。
17.三角形的中心在三条中线的交点上。
18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
判定
由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形
面积
(1)S△=1/2ah （a是三角形的底，h是底所对应的高）
(2)S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）
(3)S△=√〔p(p-a)(p-b)(p-c)〕 〔p=1/2(a+b+c)〕（海伦—秦九韶公式） (4)S△=abc/(4R) (R是外接圆半径)
(5)S△=1/2(a+b+c)r (r是内切圆半径)
（6)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)
