0到正无穷 关于e的负x的平方的定积分计算
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发布时间：2024-05-13 17:25
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时间：2024-06-17 00:54
让我们深入探索一个看似简单却充满挑战的积分问题：当x取0到正无穷时，计算关于自然常数e的函数<span e^(-x^2)的积分。这个函数虽然常见，但其原函数却难以用基本初等函数的形式表达，正如宇哥所说，那是一个"有爸在天上"的神秘存在。
尽管表面上只是积分的计算，但对于那些涉猎过数学概率论的学生来说，这道题可能带来无尽的思考。接下来，我们将通过巧妙的技巧来求解，引入二重积分的工具箱。让我们将原式拆解为两个部分的乘积:
<span 设原式为</ <span (e^(-x^2)) * (一个关于x的函数)
为了解决这个问题，我们可以通过变量替换，将x替换成y，这样后一个与x无关的部分就转化为y的函数，便于处理。
当我们转换到极坐标系下，这个问题瞬间变得直观起来。遵循'后积先定限'的规则，我们先确定积分的范围，然后根据这个范围画出积分路径。'限内画条线'，我们确定了积分路径的边界；'先交写下限'，我们先确定函数在下限处的交点；'后交写上限'，则是在上限处找到交点。
经过这样的分析，我们得出的结论是：
<span (e^(-x^2)) 的积分在极坐标下的表达形式，结合特定的积分路径，可以简化为一个明确的数值，这个结论值得我们深入记忆。</
这个函数首次在反常积分的章节中出现，那里我们学习了反常积分和特殊函数的重要性。通过解决这个难题，我们不仅提升了积分技巧，也更深入理解了这些函数的性质和应用。
