数理逻辑史的公理方法的发展
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发布时间：2024-05-11 16:35
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时间：2024-05-17 18:34
早在公元前约 300年，古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》中，总结和整理了当时关于几何方面的知识，建立了一个具体公理系统。欧几里得第五公设（公理）或平行公设由于其真实性不够自明，在当时引起了怀疑。起初人们曾设法从其他公设论证第五公设，或代之以更为自明的公理，然而经过长期努力也未获得结果。18世纪意大利的G.萨凯里 (1667～1733) 试图用反证*证与第五公设相反对的假设不能成立，但结果却适得其反，从而产生和发展了非欧几里得几何，并提出了非欧几何作为公理系统的一致性问题。19世纪中叶后，人们已经判明射影几何与度量几何的相互关系,揭示出两种几何系统所必需的公理和假设。德国数学家P.帕施(1843～1930)在其《新几何讲义》(1882)一书中，给出了历史上第一个严格的几何系统，明确了射影几何隐含着的全部公理。他还从理论上提出形式公理学的思想，认为几何学里推导的进行必须独立于几何概念的直观内容,而不以图形为根据。同时,各种几何或代数公理系统的出现，表明一个严格公理系统可以有不同解释或模型。在这样的历史条件下，希尔伯特和《几何基础》一书于1899年出版。为了便于理解，在书中利用直观的语词引进点、线、面三类事物和它们间的关系，如“在……之上”、“合同于”、“平行”等等，而没有再做解释。其实这些直观的语词只起了变元的作用，这些事物和关系的性质完全由几组公理来决定，并可以有不同的解释。公理不仅反映系统的逻辑结构，也*着对那些事物的可能的解释或模型。这是一种初步形式化的公理系统。希尔伯特还讨论和论证了该系统的一致性和各公理的相互独立性。
