sinxdx=0的定积分为什么等于0?

发布网友发布时间：2024-07-02 21:25

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热心网友时间：2024-08-20 22:47

对于函数 f(x) = |sin(x)|，我们可以把区间 [0, nπ] 分为 n 个子区间，每个子区间长度为 π。在每个子区间上，函数 f(x) 的取值都是正数，因为 |sin(x)| 在 [0, π] 上的图像是一个正弦函数在 x 轴上方的部分。所以，函数 f(x) 在 [0, nπ] 上的定积分等于每个子区间上函数值的累加。
在每个子区间上，函数 f(x) 可以简化为 f(x) = sin(x)，因此，我们可以得到定积分的等价形式：
∫|sin(x)| dx = ∫sin(x) dx
然后，我们可以计算该定积分的值。在每个子区间上，函数 sin(x) 的不定积分为 -cos(x)，所以：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
其中，C 是一个常数。将上述结果应用到整个区间 [0, nπ]，我们需要根据区间的边界值进行计算：
∫|sin(x)| dx = -cos(nπ) + cos(0)
因为 cos(nπ) 的值为 1 或 -1，取决于 n 的奇偶性。对于偶数 n，cos(nπ) = 1，对于奇数 n，cos(nπ) = -1。所以，我们可以得到定积分的最终结果：
∫|sin(x)| dx = -1 + cos(0) = -1 + 1 = 0
因此，定积分 ∫|sin(x)| dx 在区间 [0, nπ] 上等价于 0。