普通最小二乘法和矩阵最小二乘法等效吗?它们的关系是什么?
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发布时间：2024-06-01 15:24
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时间：2024-06-19 04:50
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）和矩阵最小二乘法在本质上是等效的，它们都旨在最小化残差平方和。它们之间的关系可以从以下几点来理解：
普通最小二乘法：
普通最小二乘法是回归分析中最基本的方法，它通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合线。
对于线性模型
y
=
X
β
+
ϵ
y=Xβ+ϵ
，OLS 试图找到参数
β
β
，使得
∑
(
y
i
−
X
i
β
)
2
∑(y
i
−X
i
β)
2
最小。
矩阵最小二乘法：
矩阵最小二乘法是普通最小二乘法的一种表达方式，它使用矩阵和向量来表示数据和参数，从而简化了计算过程。
在矩阵形式下，我们寻找参数向量
β
β
，使得
∥
Y
−
X
β
∥
2
∥Y−Xβ∥
2
最小，其中
Y
Y
是响应变量的向量，
X
X
是设计矩阵。
等效性：
当我们从普通最小二乘法的角度出发，将问题转化为矩阵形式，我们会得到相同的最优解。
例如，通过设置导数为零
∂
∂
β
∥
Y
−
X
β
∥
2
=
0
∂β
∂
∥Y−Xβ∥
2
=0
，我们可以得到正规方程
X
T
X
β
=
X
T
Y
X
T
Xβ=X
T
Y
，其解为
β
=
(
X
T
X
)
−
1
X
T
Y
β=(X
T
X)
−1
X
T
Y
，这是矩阵最小二乘法的解。
因此，普通最小二乘法和矩阵最小二乘法在数学上是等效的，它们只是表达和计算方式的不同。在实际应用中，矩阵形式的最小二乘法更加方便，尤其是在处理大量数据时。如果您想了解更多关于这两种方法的数学推导和应用，可以参考相关的统计学和线性代数的资料。
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