...x(x-1)(x-2)(x-3)的导数,试判别方程f (x)=0的根的个数.

发布网友发布时间：2024-04-29 23:53

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热心网友时间：2024-05-07 10:56

【答案】：由于f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，所以由罗尔定理可知：，使f'(ξ1)=0．同理使f'(ξ2)=0，使f'(ξ3)=0．显然ξ1，ξ2，ξ3都是方程f'(x)=0的根．
注意到方程f'(x)=0为三次方程，它只能有三个根(包括实根、复根)，故ξ1，ξ2，ξ3也就是方程f'(x)=0的三个实根。又f'(x)在[ξ1，ξ2]，[ξ2，ξ2]上满足罗尔定理的条件，故存在η∈(ξ1，ξ2)，使f"(η1)=0，存在η2∈(ξ2，ξ3)，使f"(η2)=0．而f"(x)是一个二次多项式，至多有两个实根．因此，方程f"(x)=0有且仅有两个实根．

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