取整函数y=[x](x∉N)是初等函数么?

发布网友 发布时间：2022-05-06 13:55

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热心网友 时间：2022-06-30 20:31

先说结论，取整函数y=[x](x∉N)是初等函数。
当然如果去掉x∉N，就不是了（根据初等函数判定方法：定义域内必连续），所以楼下四个回答犯了比较低级的形而上学错误。
下面是构造方式：
首先y=x-[x]（取小数函数）是周期函数，因此自然而然就想到了三角函数。
三角函数有3种正弦，正切，正割，取整函数在每一个周期都是单调递增的，所以正弦和正割排除掉，这里考虑正切函数，y = tan x。
我们知道一个函数取正切再取反正切，得到的就是斜率为1的一条线段，所以由无数条斜率为1的线段组成以π为周期的函数应该为 y = arctan (tan x)。
做到这里大家应该看出来了，这个函数的图像与取小数的函数的图像是相似的，因此只要经过平移和拉伸就能变为取小数函数，首先右移（左移也可）π/2，然后上移π/2，使原点对上，最后再两个坐标轴方向按比例缩短至1，也就是1/π倍，这样就变成了取小数函数了。
因此y=x-[x] = arctan(tan(πx-π/2))/π+1/2，因此：
取整函数f(x) = [x] = x-arctan(tan(πx-π/2))/π-1/2。注意由于正切函数固有的定义域x-π/2≠kπ-π/2，因此x≠k，也就是说x∉N，因此取整函数[x]是初等函数。

热心网友 时间：2022-06-30 20:31

不算，初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。追问但是，你如何证明取整函数不能通过这种构造方法得出呢？
（不好意思，你的回答是错误的，请再考虑一下吧）

热心网友 时间：2022-06-30 20:32

取整函数y=[x] 属于符号函数，符号函数属于非初等函数追问回答错误，再考虑下吧，你说的是定义域为全体实数的情形
注意x∉N

热心网友 时间：2022-06-30 20:32

不是，高斯函数不是初等函数

热心网友 时间：2022-06-30 20:33

不是，它是属于分段函数的范畴追问但是分段函数不一定就不是初等函数。
最简单的例子，y=1(x0)，如果定义域是x≠0的话，可以表示成:
y = x^2^0.5/(2x)+3/2