有10为乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次...

发布网友发布时间：2024-05-07 00:53

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热心网友时间：2024-06-25 09:44

有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1，y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2，y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10，y10顺次表示第10号选手胜与负的场数．则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即
x12＋x22＋…＋x102＝y12＋y22＋…＋y102，为什么？
经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即xi＋yi＝9(其中i＝1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1＋x2＋…＋x10＝y1＋y2＋…＋y10，这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手．
〔结果〕由题意知xi＋yi＝9(i＝1、2、3、…10)且x1＋x2＋…＋x10＝y1＋y2＋…＋y10
(x12＋x22＋…＋x102)-(y12＋y22＋…＋y102)
＝(x12-y12)＋(x22-y22)＋…＋(x102-y102)
＝(x1＋y1)(x1-y1)＋(x2＋y2)(x2-y2)＋…＋(x10＋y10)(x10-y10)
＝9〔(x1-y1)＋(x2-y2)＋(x3-y3)＋…＋(x10-y10)〕
＝9〔(x1＋x2＋…＋x10)-(y1＋y2＋…＋y10)〕
＝0
所以，x12＋x22＋…＋x102＝y12＋y22＋…＋y102．