已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4...
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发布时间：2024-05-05 17:17
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热心网友
时间：2024-06-20 19:33
h(n)=g(n)/n=f(n)/n!
那么g(n)=g(n-2)+h(n-3)+h(n-4)
对n求和可得
g(n)=1+h(1)+h(2)+...+h(n-3)
因此
g(n+1)-g(n)=h(n-2)
或者
(n+1)h(n+1)-nh(n)=h(n-2)
再考察幂级数
y(x)=sum
h(n)x^n,
其中求和从n=1开始，当然也可以补一个h(0)=0
由上述递推关系可得
(1-x)y'(x)=x^2(y+1)
解出y(x)=exp(-x(x+2)/2)/(1-x)-1
所以f(n)就是y(x)在x=0处的n阶导数
至于有没有更初等的通项，那我也不清楚
热心网友
时间：2024-06-20 19:34
当我们知道f(n)就是y(x)在x=0处的n阶导数，
其中y(x)=exp(-x(x+2)/2)/(1-x)-1，
而h(n)=f(n)/n!，也就是y在x=0处Taylor展式的x^n的系数，
我们便可推出当n->正无穷，f(n)/n!=h(n)->e^(-3/2).
将y展成x=0处Taylor展式：
y=(1+x+x^2+......)(1-x*(x+2)/2+x^2
*(x+2)^2
/(2!
*
2^2)-......)-1.
因为h(n)是x^n的系数，
根据(1+x+x^2+......)特点知：
h(n)是(1-x*(x+2)/2+x^2
*(x+2)^2
/(2!
*
2^2)-......)中x的<=n次的系数和。
也就是取出x的<=n次的项，令x=1所得的值就是h(n).
因为(1-x*(x+2)/2+x^2
*(x+2)^2
/(2!
*
2^2)-......)对x属于R绝对收敛，
所以改变顺序不影响求和，
因此n->正无穷时,
h(n)=(1-x*(x+2)/2+x^2
*(x+2)^2
/(2!
*
2^2)-......)
|(x=1).
=e^(x*(x+2)/2)
|(x=1).
=e^(-3/2).
