求常微分方程t^2x''+tx'-x=0的通解

发布网友发布时间：2024-05-08 06:48

共3个回答

热心网友时间：2024-06-02 13:29

这是最常见的欧拉方程，用欧拉方程的一般解法即可。
做变换t=exp(s)，即s=lnt。
带入原方程消掉t，得x关于s的方程，解得其特征根为+1和-1。所以其通解为
x=C1expt+C2exp(-t)

热心网友时间：2024-06-02 13:35

由已知易得函数x=0满足要求
若x不等于0
则可得x''=-(tx'-x)/t^2=-(x/t)'
故两边取不定积分得x'=-x/t+c

热心网友时间：2024-06-02 13:32

t^2x''+tx'-x=0
x'=dx/dt
tx'= tdx/dt=dx/dlnt
t^2x''=t^2dx'/dt=tdx'/dlnt
=tdx/dt/dlnt
=d^2x/d(lnt)^2
dx/dlnt=X'
d^2x/(dlnt)^2=X'
X''+X'-X=0
特征方程
r^2+r-1=0
(r+1/2)^2=5/4
r1=√5/2-1/2 r2=-√5/2-1/2
通解=C1e^[(√5/2-1/2)lnt] +C2e^[(-√5/2-1/2)lnt]
=C1t^(√5/2-1/2) +C2t^(-√5/2-1/2)

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求常微分方程t^2*x''+t*x'-x=0的通解

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