重积分变量替换问题

发布网友发布时间：2024-05-08 07:50

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热心网友时间：2024-07-09 16:36

不太明白你的意思，下面是一种证明，不知道是不是你想要的，如果不是，你就给我留言吧，我看到后会给你回复的。
对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中
A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。利用中值定理可知：
(u+△u,v)-(u,v)=M
(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，
dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndv
其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。
所以两边同时乘以f(x,y),再积分，就是二重积分变量替换公式。