函数的间断点种类及其判断

发布网友发布时间：2024-05-03 13:14

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热心网友时间：2024-07-17 04:13

深入解析函数间断点的奥秘

一、间断点的定义与分类

函数在某点的行为，若遇到以下三种情况，我们称该点为间断点：

1. 无定义

f(x)

x=c

f(c)

2. 有定义但极限不存在

\lim_{x \to c} f(x)

3. 有定义但极限不等于函数值

\lim_{x \to c} f(x) ≠ f(c)

根据这些特性，我们把间断点划分为两类：

第一类间断点：有限型

这种间断点的特点是左右极限都存在，也称为可去间断点，如函数 y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}在 x=1处的情况，尽管左右极限相等但函数在此点无定义，判断为可去间断点。

当函数在间断点两侧表现出明显的跳跃，比如 y = |x|/x在 x=0处，尽管左极限为1，右极限为-1，是不相等的，形成跳跃。

与第一类相反，这类间断点至少有一侧的极限不存在或等于无穷大。例如，y = \tan x在 x=\frac{\pi}{2}处，尽管函数在该点无定义，但极限趋向于无穷。

最后，当函数在某点无定义且极限不存在，且函数值在自变量趋近该点时表现出无规律的振荡，如 y = \sin(\frac{1}{x})在 x=0处，极限不存在，函数值在两个常数间无限次变动。

判断策略总结

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