复数积分中,实部的积分等于虚部吗?
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发布时间：2024-05-03 09:03
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时间：2024-06-01 18:59
对于复数积分，一般而言实部的积分并不等于整体积分的实部。这是因为积分是一个线性操作，即对于任意常数a和任意两个可积函数f(x)和g(x)，有：
∫[a,b] (af(x) + g(x)) dx = a ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx
然而，在复数积分中，实部和虚部是不独立的，即实部和虚部的积分不能分别计算。因此，一般情况下实部的积分不等于整体积分的实部。
举个例子，考虑计算复数积分∫C z dz，其中C为以原点为圆心，半径为1的单位圆周。我们可以将z表示为z = x + iy，其中x和y分别为z的实部和虚部，于是有：
z dz = (x + iy) (dx + i dy) = (xdx - ydy) + i(ydx + xdy)
因此，实部为xdx - ydy，虚部为ydx + xdy。对于单位圆周C，我们可以将参数表示为z = e^(it)，其中t为[0,2π]上的参数。于是有：
x = cos(t)，y = sin(t)，dx = -sin(t) dt，dy = cos(t) dt
将上述表达式代入实部和虚部的积分中，得到：
Re[∫C z dz] = ∫[0,2π] (cos^2(t) - sin^2(t)) dt = 0
Im[∫C z dz] = ∫[0,2π] 2cos(t)sin(t) dt = 0
因此，整体积分的实部和虚部均为0，而实部的积分也为0，因此实部的积分并不等于整体积分的实部。
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