微分、极限、连续的关系

极限存在不一定连续；连续不一定光滑；光滑不一定可导。没有定义肯定不可导；有定义但不连续肯定不可导；极限不存在肯定不可导；不光滑肯定不可导；光滑不一定可导。可导就是可微，可微就是可导；可导的函数，一定是光滑的；可导的函数，一定是连续的；可导的函数，一定有极限存在；可导的函数，一定有定义。

极限和连续的关系:极限在点X0存在且它的值等于在该点的函数值，那就是在该点连续的。否则在该点就不连续。极限不存在则必不连续。函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处连续。若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(...

1.某点处极限是否存在与这点是否有定义无关，若此点无定义，在此点处就一定不连续。2.连续不间断的曲线若可以是某函数（单值函数）的图象，那它一定是连续函数。3.极限是函数的一种运算，用这种运算来定义导数、连续等概念。可导函数必是连续函数，但连续函数未必可导。可导是连续的充分但不必要条件。

1、可微等于可导；2、可导就比连续，但连续不一定可导；3、设函数在x0点的某个领域内有定义并且函数趋于x0点的极限等于该点函数值，则函数在这点连续。4、函数在（a，b）上连续，则函数可积。5、若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏...

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy_x=x0。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续...

在上例中，F（X）在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续；如果我们定义F（2）=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的；如果我们定义F（2）=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。由连续又引出了左极限、右极限和左...

在 x=0 处，左极限= 0^2=0 ，右极限=0 ，函数值=f(0)=0 ，所以函数在 x=0 处连续，即函数在 R 上连续。2、（抄错了。是 +∞ 还是 -∞ 结果可不一样啊。另外，如果是 ∞ ，对任意实数 a、b ，那个极限都不可能等于 1。就按 +∞ 来做吧）√(x^2-x+1) -ax-b-1 分子有...

偏导数连续是可微分充分条件，偏导数存在是可微分充分必要条件，偏导数存在，但函数不一定连续，反过来，成立，连续，则极限存在，反过来不成立。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分...

微分则是函数在某一点处因变量的增量和自变量增量之间存在的一种特殊关系。对于可微函数来说，其在某一点的微分等于该点的导数与自变量增量之积，而该点的导数就是函数增量与自变量增量比值当自变量增量趋于0时的极限。所以，一个函数在某点可微分的充要条件是该点导数存在，也就是函数在该点函数增量与...

而极限是指一个有序数列（有穷或者无穷）或者函数在自变量无限趋近于某一点时函数的值。积分和微分区别和联系：按几何讲：曲线某点的导数就是该点切线的斜率，不指定某点就是斜率与x的关系式；微分就是在某点处用切线的直线方程近似曲线方程的取值，不指定某点就是所有点满足的关系式；定积分就是求...