...理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?

发布网友 发布时间：2024-05-28 16:22

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热心网友 时间：2024-06-12 15:10

问题前半部分太笼统，也不好回答，我来回答你的后半部分吧。一楼的回答不是很好，几何原本就是和坐标无关的，如果一个量和坐标选取有关，那压根就不是几何量。坐标是我们研究问题的工具，几何是我们要研究的问题，不能因为工具的不同而出现不同的研究结果。举例来说，两条直线相交有且仅有一个交点，这是个几何性质，但是你不论在什么坐标系下，这个都是对的。言归正传，内蕴几何其实是只与曲面的第一基本形式有关的几何，曲面有第一第二基本形式，并且这两个基本形式可以唯一确定曲面（当然，它们之间要满足三个方程），内蕴几何则是要研究只有第一基本形式所决定的曲面几何性质。高斯的绝妙定理形象地说来就是“生活在球面上的蚂蚁如果足够理解内蕴几何，它也能知道自己生活的空间是什么样子的，而不需要借助我们外人的提示”，这里它们足够聪明就是指理解内蕴几何，借助我们外人的提示则是指通过第二基本形式。曲面上有一个重要的几何量叫高斯曲率，它的定义是用第一和第二类基本量来定义的，但是高斯通过繁琐的计算，得到这个量其实只和曲面的第一基本量有关，这就是高斯绝妙定理。现在有了张量的计算，这个定理的证明很简单了，最后高斯曲率正好等于R—{1212}除以第一基本量组成的行列式开根号，而这些量都是只和第一基本量有关，这就很简单证明的了高斯绝妙定理。这些你看随便一本微分几何书的“曲面的结构方程”都能找到。这就说明高斯曲率是内蕴量，就这一点，后来被黎曼发展成为“黎曼几何”，也就是研究黎曼流形只与第一基本形式有关的几何。形象地说，内蕴几何是生活在空间的人看自己，而第二基本形式有关的量则是外面的人看这个空间。
至于为什么叫“绝妙定理”，我有个不是很好的解释，当然有时候我也给学生讲讲。原本由第一第二基本量定义的东西后来发现和第二无关，这本身在数学上就是大家关心的问题，这样流形就可以脱离欧式空间的子流形而独立存在。我的解释是这样的：有个孩子后来发现没有爸爸也能生出来，难道大家不会给予足够的关注吗？

热心网友 时间：2024-06-12 15:05

微分几何就是坐标无关的几何，按照黎曼的说法，几何量就是在坐标变换下不变的量，正好张量就是在做表变换下形式不变，于是微分几何中张量是很常用的。
高斯的绝妙定理是个什么啊，高斯定理有好多啊，你说的是Gauss-Bonnet定理么？那个是由结构方程和Stokes公式证出来的。

能说一下你在看什么书么？ 具体不明白的是哪个部分？