从通信编码的角度认识各种熵函数
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发布时间：2024-05-29 12:34
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时间：2024-07-22 08:57
走进通信编码的奥秘：理解四种关键熵函数
熵，这个看似抽象的概念，是信息论的基石，由天才科学家香农首次提出，用来衡量信息的不确定性和必要信息量。在二进制世界中，我们用比特(bit)来度量，对于离散随机变量 \(X\) 的分布 \(p(x)\)，其熵 \(H(X)\) 如下所示：
熵 \(H(X)\): \(H(X) = -\sum_{x} p(x) \log_2 p(x)\)
信息编码中，一个生动的例子是随机变量 \(X\) 的分布：\(A\) 出现的概率为 \(0.5\)，\(B\) 为 \(0.25\)，\(C\) 和 \(D\) 各占 \(0.125\)。采用哈弗曼树编码，\(A\) 至 \(D\) 的编码分别为 1, 2, 3, 3，平均编码长度为 \(H(X)\) 的直观体现。
交叉熵：编码误差的度量
当使用一个不精确的分布 \(q(x)\) 对 \(X\) 进行编码时，我们引入了交叉熵 \(H_q(X)\)。比如，如果 \(A\) 的编码变长为 2，而 \(B\) 保持 1，即便发送的符号数量不变，平均编码长度会增加。交叉熵 \(H_q(X)\) 揭示了这种编码效率的降低：
交叉熵 \(H_q(X)\): \(H_q(X) = -\sum_{x} p(x) \log_2 q(x)\)
它反映的是在错误分布下编码的额外成本。
KL散度：分布差异的量尺
KL散度，也称相对熵，衡量两个分布 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 之间的差异。其计算公式如下：
KL散度 \(D_{KL}(p||q)\): \(D_{KL}(p||q) = \sum_{x} p(x) \log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\)
它刻画了从 \(q(x)\) 到 \(p(x)\) 编码所需的额外长度，即编码误差的大小。
联合熵与条件熵：变量间的相互影响
当谈到联合随机变量 \(X\) 和 \(Y\)，联合熵 \(H(X,Y)\) 描述了它们同时出现时的信息量。当 \(X\) 和 \(Y\) 独立时，\(H(X,Y) = H(X) + H(Y)\)。以实际例子说明，如果 \(X\) 的编码长度已知，根据 \(Y\) 的条件概率，我们计算 \(X\) 和 \(Y\) 的联合编码长度，这就是条件熵 \(H(Y|X)\) 的应用。
联合熵 \(H(X,Y)\): \(H(X,Y) = -\sum_{x,y} p(x,y) \log_2 p(x,y)\)
条件熵 \(H(Y|X)\): \(H(Y|X) = -\sum_{x,y} p(x,y) \log_2 \frac{p(y|x)}{p(x)}\)
总结来说，信息熵是理想编码的长度，交叉熵衡量了偏离理想编码的代价，相对熵则揭示了这种偏离的具体数值。条件熵则揭示了在已知部分信息下，另一个变量编码的额外需求。这些概念在机器学习中扮演着关键角色，帮助我们理解和优化信息处理过程的效率。
从通信编码的角度认识各种熵函数
熵 \(H(X)\): \(H(X) = -\sum_{x} p(x) \log_2 p(x)\)信息编码中，一个生动的例子是随机变量 \(X\) 的分布：\(A\) 出现的概率为 \(0.5\)，\(B\) 为 \(0.25\)，\(C\) 和 \(D\) 各占 \(0.125\)。采用哈弗曼树编码，\(A\) 至 \(D\) 的编码分别为 1,...
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三分钟学习 | 熵编码
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相对熵(Relative Entropy)/KL散度(Kullback-Leibler Divergence)_百度知 ...
这正是信息熵的精髓。然而，如果有一个近似的分布 q(x)，用 p(x) 的编码来处理，信息量就会增加。KL散度正是衡量这种额外消耗的比特数，它告诉我们，从q(x)编码到p(x)，平均每字符多消耗的比特数，即KL(p||q)。例如，假设我们有一个字符集X，每个字符的出现概率为 p(x)...
