焦半径公式的推导过程是什么?(详细点)
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发布时间：2022-05-05 13:53
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时间：2022-06-27 14:19
椭圆的焦半径公式：
设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF2∣= a+em，∣MF1∣= a-em
双曲线的焦半径公式：
已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
抛物线的焦半径公式：
抛物线r=x+p/2</CA>
通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²－b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2
【补充】焦半径公式（Focal radius formula）：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
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时间：2022-06-27 14:20
解：设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF2∣= a+em，∣MF1∣= a-em
2.双曲线的焦半径公式
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
①点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
②点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
3.抛物线的焦半径公式
抛物线r=x+p/2</CA>
通径：圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²－b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.
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时间：2022-06-27 14:20
设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF2∣= a+em，∣MF1∣= a-em
双曲线的焦半径公式：
已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
抛物线的焦半径公式：
抛物线r=x+p/2
通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²－b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2
【补充】焦半径公式（Focal radius formula）：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
回答.双曲线的焦半径公式
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
①点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
②点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
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时间：2022-06-27 14:21
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a²
由 x²/a² + y²/b² =1
原式 =[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²
∴ |PF1| = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex
同理有丨PF2丨 = a + ex
双曲线证明与椭圆类似，可得结论│PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a)
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时间：2022-06-27 14:21
利用双曲线的第二定义：设双曲线
， 是其左右焦点。
则由第二定义：
，
同理：
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中 分别是双曲线的下上焦点）
注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）
椭圆上一点P(x0，y0)与焦点F连结的线段PF叫做椭圆的焦半径，与左焦点F1对应的焦半径叫做左焦半径，与右焦点F2对应的焦半径叫右焦半径．一般用椭圆的第二定义来推导焦半径长的公式．
=a+ex0
又|PF2|+|PF1|=2a，
∴|PF2|＝2a-|PF1|=a-ex0．
即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是
|PF1|=a+ey0，|PF2|=a－ey0
的下、上焦半径分别是
|PF1|=a+ey0，|PF2|＝a－ey0
在求焦点弦长时，注意焦半径公式的使用
