如何推导抛物线(有倾斜角)焦半径公式?
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发布时间：2022-05-05 13:53
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时间：2022-06-27 14:19
y²=2px
F(p/2,0)
斜率不存在
θ=90度,x=p/2
则y²=p²
y=±p
AB=y1-y2=2p=2p/sin²90
成立
斜率存在
y=tanθ(x-p/2)
y²=tan²θ(x²-px+p²/4)=2px
tan²θx²-(ptan²θ+2p)x+tan²θp²/4=0
x1+x2=(ptan²θ+2p)/tan²θ
准线x=-p/2
所以A到准线距离=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
抛物线定义
A到F距离等于到准线距离
所以AB=AF+BF=A到准线距离+B到准线距离
=x1+x2+p
=(ptan²θ+2p)/tan²θ+p
=(2ptan²θ+2p)/tan²θ
=2p(1+tan²θ)/tan²θ
=2psec²θ/tan²θ
=2p(1/cos²θ)/(sin²θ/cos²θ)
=2p/sin²θ
综上
AB=2p/sin²θ
抛物线四种方程的异同
共同点：
①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
