...f(x)在(0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,令F...

发布网友发布时间：2024-03-14 20:36

共2个回答

热心网友时间：2024-03-15 01:46

假设不存在ζ∈(0,1),使F‘(ζ)=0。
即F‘(x)>0或者F‘(x)<0在(0,1)上恒成立.
1°
若F‘(x)>0，F(x)在(0,1)上为递增函数。F(1)=-1
0不成立.
2°若F‘(x)<0，F(x)在(0,1)上为递减函数。F(1/2)=1/2>F(0)=0
所以F‘(x)<0不成立.
所以由1°
2°
可知，即F‘(x)>0或者F‘(x)<0在(0,1)上恒成立.是错误的。
所以原假设错误。原命题为真命题.

热心网友时间：2024-03-15 01:50

f(x)在(0,1)上连续可导，则f'(x)在(0,1)上连续.
因为f(0)>0
f(1/2)<0
f(1)>0,那么在（0，1）内存在e
使f(x)在(0,e)上递减，而在（e，1）上递增。
根据在递增区间导数为正，在递减区间导数为负，因此
f'(x)在(0,e)上小于0，而在（e，1）上大于0
又因为f'(x)在e点连续，所以必有f'（e）＝0。