1+3+5+7+9+……+(2n-1) 为什么是n的平方

发布网友 发布时间：2024-03-07 00:07

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热心网友 时间：2024-10-08 07:55

证明： 1+3+5+7+9+……+(2n-1)
=(2×1-1)+(2×2-1)+(3×2-1)+...+(2n-1)
=2×(1+2+3+...n)-1×n
=2×[n(n+1)/2]-n
=n^2+n-n
=n^2

显然，1、3、5、7、9、······、（2n－1）是以2为公差的等差数列。
设2n－1是第k项，则有：2n－1＝1＋（k－1）×2＝2k－1，∴k＝n。
∴1＋3＋5＋＋9＋······＋（2n－1）＝［1＋（2n－1）］n/2＝n^2。

一，先说“-1的n-1次方”
任何一个非零数的零次方等于1，所以n=1时，-1的n-1次方就是-1的0次方等于1，
当n等于1、2、3、4、5等时，n-1分别为0、1、2、3、4等，底数为-1，幂的值分别为1，-1，1,-1回圈，这就决定了每一项的符号位正负正负的回圈；
二，再说2n-1，
把n=1、2、3、4-----带入，可知数值分别为1,3，5，7-----单数递增，
把一二项相乘，即得出所求数列。

[1+(2n-1)]*n/2=n平方

1+3+5+7+9+。。。+（2n-1)+(2n+1)
=（n+1）的平方

n(n+1)(2n+1)/6
方法1：n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3
两边都从1到n求和
左边为所求
右边=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
或者
先取一辅助数列：记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)，将其配成这样：sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3，又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n)，
所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6。
方法2：数学归纳法
n=2的时候，1＝(1*2*3)/6=1
如果对n－1的时候成立，则有1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
那么对于n的时候
1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＋n的平方
＝((n-1)n(2n-1))/6+n*n
＝n/6*(2n^2-3n+1+6n)
＝n/6*(n+1)(2n+1)
＝[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6
所以对n的时候也成立
由以上，可以知道1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
方法3：待定系数法
设1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n
将n=1、2、3分别代入，解方程组可得a=1/3
b=1/2
c=1/6

每项+1，得到2，4，6，8.......2n的等差数列，除2，得到1，2，3....n的等差数列，1~n有n项

（n+2）^2

n(n^2+1)(n^2-1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
n,n+1奇偶性不同，所以n(n+1)是2的倍数。
若n除以5余0，原式是10的倍数。
若n除以5余1，n-1是5的倍数，原式是10倍数
若n除以5余2，n的平方+1是5的倍数，原式是10倍数
若n除以5余3，n的平方+1是5的倍数，原式是10倍数
若n除以5余4，n+1是5的倍数，原式是10倍数

103+105+107+...+2003+2005
=(1+3+5+...+2005)-(1+3+...+101)
=(1001+2)^2-(49+2)^2 因为2n+3=2005,故n=1001;2n+3=101,故n=49;
=1003^2-51^2
=1003408