证明:正规矩阵A是幂零阵(A2=0)的充要条件是A=0.

发布网友发布时间：2024-03-03 17:36

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热心网友时间：2024-03-07 14:14

【答案】：充分性．若A=0则结论显然．必要性．若A2=0由题设矩阵A是正规矩阵则A酉相似于一个对角矩阵即A=Udiag(λ1λ2…λn)UH A2=Udiag(λ12λ22…λn2UH=0即diag(λ12λ22…λn2)=0．所以λ1=λ2=…=λn=0即A=0．结论成立．
充分性．若A=0,则结论显然．必要性．若A2=0,由题设矩阵A是正规矩阵,则A酉相似于一个对角矩阵,即A=Udiag(λ1,λ2,…,λn)UH,A2=Udiag(λ12,λ22,…,λn2UH=0,即diag(λ12,λ22,…,λn2)=0．所以λ1=λ2=…=λn=0,即A=0．结论成立．

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