自守函数论的克莱因和庞加莱的工作
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发布时间：2022-05-05 11:12
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时间：2022-06-27 10:46
Kelin关于自守函数的研究始于1874年，当他看到Poincaré 1881年初发表的3篇关于自守函数的短文时，开始与之通信。从1882年9月到1882年9月，两人一共写了25封信，进行了友好的“竞争”，一直到1882年Klein病倒为止。
Klein 阅读广泛； 继承前人成果 单值函数及其上的线性变换； 连续群； Riemann方式 单值化
Poincaré 孤立研究； 开创性 微分方程 函数群与基本域； 引入非欧度量 微分方程的解； 单值化 Poincaré 1878年博士论文中以及到卡昂大学工作后考虑了复数域上的微分方程理论，这个问题是当时常微分理论的中心话题。此刻的权威人物是Fuchs，他于1866年成功刻画出一类解有固定奇点的线性微分方程，此后解决了一系列的相关问题，包括某些椭圆积分和模函数问题。受Fuchs 1880年的一系列论文的吸引，Poincaré开始研究Fuchs理论，并且在与Fuchs的通信中产生了自守函数理论。Poincaré的工作简单概括如下：
刻划了函数群同基本域之间的关系
以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数――Fuchs函数
把分式线性变换扩充到复数域上，得到了Klein群
用新的自守函数理论来解决仅有正则奇点的任意阶具有代数系数的常微分方程
用自守函数理论导出一般的单值化定理 Klein关于代数函数的几何理论涉及到有限变换群，推广到无限离散变换群上便导致自守函数。他于1874年起开始研究Riemann的著作，自称是他的学生，把其的重要的几何思想融入复变函数论，同时研究模函数理论。Klein的主要工作为：
把方程论的主要思想几何化
引进模函数的概念l 研究线性分式变换群Г同基本域的关系
研究Г的同余子群同数论的某些联系
证明了边界圆定理，即一般的单值化定理
