...一个问题:已知矩阵A,AX=0,且A的列向量均线性无关,则X=0。这里X为什...

发布网友发布时间：2024-03-11 02:00

共3个回答

热心网友时间：2024-08-15 10:10

这个结论是一个比较明显的结论，可以直接去用，不过证起来其实挺麻烦。
首先X=0是方程组的解，这个是显然的，下面来证X=0是唯一解
分三种情况：
1、若A为方阵，这个比较简单，由于列向量组线性无关，因此A可逆，两边同时左乘A逆，可得结论，方程组只有零解；
2、若A的列数大于行数，此时我们会发现这个列向量组中，向量个数是大于向量维数的，根据向量组的性质，这种向量组必线性相关，因此这种情况不会发生；
3、若A的行数大于列数，设列数为n，则行数大于n，此时的行向量组必线性相关，从行向量组中选取极大线性无关组，极大线性无关组的个数一定为n（因为矩阵的行秩与列秩相等），将极大线性无关组对应的方程留下，其余的方程删去，这样方程组就变成了第一种情形了。因此只有零解。

热心网友时间：2024-08-15 10:09

因A的列向量线性无关，故A的秩等于列向量的个数，即未知变量的个数，所以方程有惟一解，这个惟一解只能是零解。

热心网友时间：2024-08-15 10:04

这是线性无关的定义，如果向量线性无关，如果存在系数(这里是X的各个分量）使得他们的线性组合的和等于0，则系数等于0