为什么正切函数图像的渐近线是直线呢?

发布网友发布时间：2024-03-04 23:55

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热心网友时间：2024-03-08 02:24

两个图形非常类似，下面比较一下两个图形的异同(Similarity and Difference)：

1、两者都是反正切函数，图形大同小异：
两者的值域稍有差异：
arctan x 的值域是：(-π/2,π/2)
arctan 1/x 的值域是：(-π/2,0)∪(0,+π/2)

两者的定义域也稍有差异：
arctan x 的定义域是：(-∞,+∞)
arctan 1/x 的定义域是：(-∞,0)∪(0,+∞)

2、arctan x 是增函数，无间断点：
在第三象限从 -π/2 一路上升至原点(上凹)，在第一象限从原点一路上升至 π/2 (下凹);

arctan 1/x 是减函数，x=0 是跳跃型间断点：
在第二象限从 π/2 一路下降至原点(下凹)，在第四象限从原点一路下降至 -π/2 (上凹)。

当 x → 0-, arctan 1/x → -π/2;
当 x → 0+, arctan 1/x → +π/2.
∴ x = 0 是跳跃型间断点(左极限≠右极限，就是跳跃)

因为是跳跃型间断点，不是可去型间断点。补充定义，意义不大。
要根据具体实际问题，补充定义。f(0) can be any number.

3、arctan x 和 arctan 1/x 有共同的渐近线(Asymptote) ±½π

4、在任何一点，他们的斜率(|dy/dx|)的绝对值是相等的，曲率半径也是相等的。
整体上，图形是对称的。