怎么求一个矩阵的特征值和特征向量
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发布时间：2024-03-04 20:11
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时间：2024-03-07 21:59
因为对称多项式一定有n个根（重根按重数算）故可将特征多项式设为。
|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)
这个里面，较易求出的有λ^n,λ^(n-1),以及常数项这三个的系数，至于其他的并不具备代表性一般不做研究，只有特殊场合才会偶尔考虑。
λ^n左边右边的系数显然都为1，（主要看左边，右边实际上是应为左边去了1，才取1的），注意到左边的行列式中只有(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^n，故系数为1
λ^(n-1)的系数，注意左边(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^(n-1)，因为行列式定义式中每个加项都是不同行不同列元素的乘积，少了一个(λ-aii)就必须还要少一个，那么其他的加项最多只有n-2次，注意到他λ^(n-1)的系数为a11+a22+...+ann（这个称为矩阵的迹，附带说下，只要相似矩阵迹相同，无论是否可对角化），接下来，看右边，右边比较好看显然λ^(n-1)的系数为所有特征值的和。
这就有个很重要的结论，矩阵的迹等于所有特征值的和（这个依赖他有n个特征值）
还有就是常数项了，这个也比较简单，两边令λ=0结果就是常数项了。
易得另一个重要结论，矩阵的行列式等于所欲特征值的乘积（这个也依赖他有n个特征值）
