一道关于导数的题目,求解!!急急急
发布网友
发布时间：2024-03-08 10:04
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热心网友
时间：2024-04-04 03:33
你好！"数学之美"团员448755083为您解答!
解：
(1)
F(x)=f(x)+g(x)=(a/x)+lnx x∈(0,+∞)
F'(x)=(1/x)-a(1/x)²=(x-a)/x²
显然极值点为x=a
F(a)=1+lna
(2)
F'(x)=(1/x)-a(1/x)²
令t=1/x
h(t)= -at² + t = -a[ t - 1/(2a) ]² + 1/(4a)，对称轴为x=1/(2a)
x ∈(0,3]，则t∈[1/3,+∞)
要满足题意斜率均小于1/2的要求，即是要求h(t)在[1/3,+∞)上的最大值要小于1/2，因此关键在于求h(t)的最大值。
①若a＝0，则h(t)=t，在[1/3,+∞)上没有最大值，而是趋近于正无穷大，因此a=0舍去；
②若a＜0，则h(t)是开口向上的抛物线，且对称轴x=1/(2a)＜0，对称轴位于区间[1/3,+∞)的左边，即[1/3,+∞)是抛物线右边递增部分的一个区间，故而函数在此区间没有最大值，而是趋近于正无穷大，故舍去a＜0；
③若a＞0，则函数是一个开口向下的抛物线，对称轴x＝1/(2a)＞0，但是还是不明确对称轴与已知区间的位置关系，因此还是要进行讨论：
③—(i)若0＜1/(2a)＜1/3，即a＞1.5时，对称轴在区间[1/3,+∞)的左边，
因此由h(t)max=h(1/3)=(1/3) - (a/9)＜1/2得a＞-1.5，再结合前提条件有a>1.5
③—(ii)若1/3≤1/(2a)，即0＜a≤1.5时，对称轴在区间[1/3,+∞)内，
因此
由h(t)max=h(1/(2a))=1/(4a)＜1/2得a＞0.5，再结合前提条件有0.5＜a≤1.5
结合上述情况得 a＞0.5 即为满足条件的范围
(3)
第三问看图片
y1=g[2a/(x²+1)]+m-1=0.5(x²+1)+m-1=0.5x²-m-0.5，抛物线，偶函数
y2=f(1+x²)=ln(x²+1)，对数曲线，偶函数
图中是恰好有三个点的状况，此时y1=0，则m=-0.5
将抛物线上移，可以得到恰好有两个交点的情况，此时二者的导函数相同得到
y1‘=y2’
即
x=2x/(x²+1)
可得x=±1，
代入原函数里面求值得m=-ln2
2=√4>√e=e^0.5
因此有ln2>0.5
-ln2<-0.5
故而当-ln2<m<-0.5时，有4个不同的交点。
