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...^x(a>1)的定义域与值域均为[m,n],则a的取值范围是...

发布网友 发布时间:2024-03-09 00:57

我来回答

4个回答

热心网友 时间:2024-03-11 04:02

解:函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],而函数f(x)=a^x(a>1)是单调的,因此,f(m)=m,f(n)=n.因此f(x)=x即a^x=x必须至少有一解,两边取对数分离参数得:lna=(lnx)/x,上述问题即,直线y=lna与函数y=(lnx)/x需至少有一个交点,已知a>1,而函数y=(lnx)/x的值域为(-∞,1/e](这个问题如果你不会,我们可以看常见函数y=(lnx)/x的版块研究:求导:得y’=(1-lnx)/x^2,至此很容易得到,函数在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,,因此函数在x=e处取得最大值1/e.),因此0<lna<=1/e(★:这里你最好自己能把函数
y=(lnx)/x的大致图象画出来看看就知道了),所以:1<a<=e^(1/e),
所以,函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],则a的取值范围为:
(1,e^(1/e)]

热心网友 时间:2024-03-11 04:03

解:f(x)=ax(a>0,a≠1)的定义域和值域均为[m,n],
那么y=f(x)与y=x的图象有两个交点
即方程f(x)-x=0有两个不相等的实数根.
设g(x)=f(x)-x=ax-x
则g'(x)=axlna-1
令g'(x)=0 得 ax=1lna>0,说明a>1
所以x=loga(1lna)=-loga(lna)
所以当x=-loga(lna)时,g(x)取得最小值a-lna(lna)+loga(lna)
由a-lna(lna)+loga(lna)<0 得
1<a<e1e
故答案为:(1,e1e).

热心网友 时间:2024-03-11 03:57

y=a^x,(a>1 所以 函数递增
又因为定义域为(m,n)-》对应值域是(m,n) 所以
可以看成解当 y=x 与 y= a^x 有两个交点时a的范围。
当两条直线相切时
得到 a^x=x ① a^x lna=1②
将一式带入二式解得 x=1/lna 再将此带入一式
a^(1/lna)=lna--->因为logae=lga/lge=1/(lge/lga)=1/logea=1/lna
a^(1/lna)=lna--->a^logae = lna-->lna=e-->a=e^e
当它们相交时;
即保证当 y=a^x 导数等于1时 y=a^x 小于 y=x

而a^x-x 这个函数关于a 是递增的
所以a=e^e是等于0
则a<e^e 时在y=a^x 导数等于1时函数(a^x-x)值小于0
所以 1<a<e^e

热心网友 时间:2024-03-11 04:02

不知道准确不准确,但是知道思路确实是我这样的。
y=a^x,函数递增, 值域是 (0 ,正无穷),
又因为定义域为(m,n)
所以 有y(m)=m , y (n)=n.
所以联想到 函数y=x 与函数y= a^x 必 有两个交点。
然后再坐标上画出两个函数的图形, 可知, 函数y=a^x
在x属于(0,正无穷)上 必有一个区域是 y' 小于 y=x 的斜率 不然就没有交点。令两个函数相等(或者两个函数的斜率)
得 : a^x=x ,
a^xlna-1=0 所以只有当函数在某个区域 a^xlna-1<0 时 才有可能有交点。
因为题目中a>1 ,且 函数 a^xlna-1 递增, e^xlne-1>=0 所以
1<a<e
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