秦九昭公式
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发布时间：2024-03-15 18:12
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热心网友
时间：2024-12-01 07:34
则根据海伦——秦九昭公式：
三角形的面积=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]
例：等边三角形的边长为10，求三角形的面积．
海*式：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c),p=(a+b+c)/2,a,b,c分别是三角形的三条边
a=b=c时 p=3/2 * a
S^2 = 3/2 * a * (1/2 * a )^3
= 3/16 * a^4
S= 根号下3 /4 * a^2
=25 * 根号3
参考资料：百度
热心网友
时间：2024-12-01 07:34
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
证明（1）：
与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为
cosc
=
(a^2+b^2-c^2)/2ab
s=1/2*ab*sinc
=1/2*ab*√(1-cos^2
c)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,
p-a=(-a+b+c)/2,
p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海*式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px
2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c
2a
2-(c%|
2+a
2-b
2/2)
2]
当p＝1时，△
2＝q,
s△=√{1/4[c
2a
2-(c
2+a
2-b
2/2)
2]}
因式分解得
1/16[(c+a)
2-b
2][b62-(c-a)
2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8s(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
