高等代数,请会的朋友帮个忙

发布网友发布时间：2022-05-06 10:23

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热心网友时间：2022-06-29 18:44

我们大致的想法是，在W1中找一组标准正交基{Fi},i=1,...,m，那么可以（通过Schmidt正交化）扩充成V的一组标准正交基{Fi},i=1,...,n；以及在W2中找一组标准正交基{Gi},i=1,...,m，扩充成V的一组标准正交基{Gi},i=1,...,n。然后我们证明把Fi映到Gi的映射，通过线性扩张（因为Fi是一组基）得到的线性变换φ是一个正交变换即可证明题目，因为显然此时有φ(W1)=W2.
如果上面的论述有什么不懂可以再问我~下面我们证明φ是一个正交变换。
线性变换φ是正交变换的一个充要条件是φ保持内积，所以我们只需证明φ保持内积。对任意的x,y∈V，令x=∑xi*Fi,y=∑yi*Fi，由φ的定义有φ(x)=Σxi*Gi,φ(y)=Σyi*Gi。
因为Fi和Gi都是标准正交基，所以
(x,y)=(Σxi*Fi,Σyi*Fi)=Σxi*yi
(φ(x),φ(y))=(Σxi*Gi,Σyi*Gi)=Σxi*yi
显然二者相等，故φ保持内积。所以φ为一个正交变换。此时φ(W1)=W2。
不懂可以再问~