已知动点M到点F(0,1)的距离等于点M到直线y=-1的距离,点M的轨迹为C.

发布网友发布时间：2024-04-24 23:49

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热心网友时间：2024-04-25 12:27

（Ⅰ）∵动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=-1的距离，
∴根据抛物线的定义，可得抛物线的焦点F（0，1），
∴轨迹C的方程为x 2=4y；
（Ⅱ）∵x 2=4y，∴y＝
1
4x2，
∴y′＝
1
2x．
设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则切线PA，PB的斜率分别为[1/2x1，
1
2x2，
∴切线PA的方程为y−y1＝
1
2x1(x−x1)，即x 1x-2y-2y 1=0，
同理可得切线PB的方程为x 2x-2y-2y 2=0，
∵切线PA，PB均过点P（x 0，y 0），
∴x 1x 0-2y 0-2y 1=0，x 2x 0-2y 0-2y 2=0，
∴A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）为方程x 0x-2y 0-2y=0的解，
∴直线AB的方程的方程为x 0x-2y 0-2y=0；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=y 1+1，|BF|=y 2+1，
∴|AF|•|BF|=（y 1+1）（y 2+1）=y 1y 2+（y 1+y 2）+1
由x 0x-2y 0-2y=0与抛物线的定义联立，可得y 2+（2y 0-x 0 2）y+y 0 2=0
∴|AF|•|BF|=y 0 2+x 0 2-2y 0+1．
∵点P（x 0，y 0）在直线l上，
∴x 0=y 0+2，
∴|AF|•|BF|=y 0 2+x 0 2-2y 0+1=2（y 0+
1
2]） 2+[9/2]，
∴当y 0=-[1/2]时，|AF|•|BF|取得最小值，最小值为[9/2]．