如图,若ON垂直BD于N,求证:ON=二分之一AC

发布网友发布时间：2024-04-21 23:32

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热心网友时间：2024-04-22 02:57

见图，如果AB与CD的交角不同，虽AC不变，但ON长度变化。

已知条件中是否有“AB⊥CD”？如有，证明如下：

连接BO并延长与圆周交F，连接AC、AF和DF。

∵△BON∽△BFD

∴ON＝FD／2　　　　　　　　　　―――――（1）

∵△ABF是直角三角形

∴AB⊥AF

∵AB⊥CD

∴AF∥CD

∵弧AC＝弧FD

∴AC＝FD　　　　　　　　　　　　　―――――（2）

（2）代入（1）

ON＝AC／2

证毕。供参考。

热心网友时间：2024-04-22 02:58

原题应该还有AB⊥CD的条件吧：
连结BO，并延长交圆O于F，连结BC、DF，
∵AB⊥CD于E，
∴∠BCE+∠CBE=90°,
∴弧BD+弧AC=180°，
又∵弧FD+弧DB=180°，
∴弧AC=弧FD，
∴AC=DF
∵ON⊥BD于N，
∴BN=DN，
又∵BO=OF，
∴ON=DF/2(三角形中位线定理)，
∴ON=AC/2.