均值不等式的最值要怎么求

发布网友发布时间：2022-05-06 08:29

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热心网友时间：2022-06-29 03:17

例谈应用均值不等式求最值高中代数（必修）上册，给出了两个重要的不等式定理，即均值不等式，这两个定理在解题中应用十分广泛，但部分同学对均值不等式求最值条件认识不足，导致解题失误，本文通过举例来说明应用均值不等式求最值应注意的问题。例1. 求函数的最值。错解当且仅当即时取等号。所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。分析上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件---两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数的定义域为，所以必须对的正负加以分类讨论。正解 1）当时，当且仅当即时取等号。所以当时， 2）当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时， . 例2. 当时，求的最小值。错解：因为所以当且仅当即时，。分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中与的积不是定值，导致应用错误。正解：因为当且仅当，即时等号成立，所以当时，。例3. 求的最小值。错解因为所以分析忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所以原函数取不到最小值。正解令，则又因为时，是递增的。所以当，即时，。例4.已知且，求的最小值.错解 , , 的最小值为 .分析解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值 .正解当且仅当即时等号成立. 的最小值为 . 综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

热心网友时间：2022-06-29 03:17

●【均值不等式的变形】　　(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
　　(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
　　(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
　　(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
　　(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
　　(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
　　(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
　　(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
　　(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
　　2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）例一证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
　　证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
　　所以，2√x≥3-1/x
　　例二长方形的面积为p，求周长的最小值
　　解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
　　因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
　　周长最小值为4√p
　　例三长方形的周长为p，求面积的最大值
　　解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
　　因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
　　面积最大值是p^2/16

热心网友时间：2022-06-29 03:18

我最烦写太多东西，这里简单的告诉你如果你看是大于等于号比如 a+b≥2√ab 这个，当且仅当a=b时，a+b有最小值（取等号就是最小值）那么反过来看呢？ 2√ab ≤ a+b 当且仅当a=b时，2√ab 有最大值（取等号就是最大值）当一个代数式大于等于一个代数式时，取等号这个代数式就有最小值，反之亦然

热心网友时间：2022-06-29 03:18

a^2+b^2>=2ab例子你可以自己例举了哈

均值不等式 的最值要怎么求

均值不等式的最值要怎么求