例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

发布网友 发布时间：2022-05-06 07:57

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热心网友 时间：2022-06-29 02:06

应该是M1=20 ,M2=15 ,M3=12
M1′=2 ,M2′=-1 ,M3′=3
x=M1*M1′*1+M2*M2′*2+M3*M3′*4+60t ，（ t为整数）
=154+60t

取t=-2 , x=34

你可以看*剩余定理！也称孙子定理！

中国剩余定理
"剩余倍分法"互除余一 互除少一
证明"孙子定理"不完善 不稳定的表现
孙子定理：
例 解同余式组
解 因3，5，7两两互质，故可由孙子定理给出解答， ＝3 5 7＝105，
故由孙子定理，所给同余式的解为： ≡2 35 2+1 21 3+1 15 2（mod 105）即
≡23（mod 105）。
以上孙子定理的解法，是计算出乘率×衍数×余数各项相加，减去两个乘积而得到的一个数，它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。
用"剩余倍分法"把"孙子定理"简化成一般解法，使剩余问题获解时，即有正基数，也有负基数，有正余数，也有负余数。互除余1能解，互除少1也能解（不*大余数问题），把其解法转化成一般算法、使它完善，稳定可普及应用。
用潘成洞，潘成彪2005《北京大学出版社》157页，简明数论一题论述：
例 X≡3（mod8）
X≡1（mod5）
X≡1（mod3） 答案X≡－29（mod120）
用"剩余倍分法"简化式对比计算，答案□=91。
3……1
□÷ 5……1
8……3
根据反证法：下式余数的少数，是上式（例4÷3=商1余1，如果=商2就少2）的"补充数"，称负余数。
3……1少2
□ ÷5……1少4
8……3少5
用倍分法计算出正、负基数：
正基数 40 ＋96＋105 = 241
除 数 3 × 5 × 8 = 120
负基数 80 ＋24 ＋15 = 119
用式方法一解：余数×基数各项相加，除以乘积余数既是。
① 正基数，正余数
（1×40＋1×96＋3×105）÷（3×5×8）
=451÷120……91
② 正基数，负余数
（2×40＋4×96＋5×105）÷（3×5×8）
=989÷120……29
③ 负基数，负余数
（2×80＋4×24＋5×15）÷（3×5×8）
=331÷120……91
④ 负基数，正余数
（1×80＋1×24＋3×15）÷（3×5×8）
=149÷120……29
显然用29还原 加余数，减少数，不符合题意，用负－29还原符合题意减余数，加少数，但－29来历隐性明显，说服力不强。（低级学校不能接受）
用91还原减余数，加少数，符合题意，91为正确答案。
以上解法与"孙子定律"基本相同，但是有两种答案。
如果用"剩余倍分法"互除余一 互除少一计算不存在以上两个答案。
用方法二解：
① 用正基数，正余数
（3×□＋1）÷5=□……1
｛6（5＋1－1）＋1｝÷（5×3）
=31÷15……1
（15×□＋1）÷8=□……3
｛105（8＋3-1）＋1｝÷（8×15）
=1051÷120……91
方法二解：
③ 用正基数，负余数
（3×□－2）÷5=□…－4
｛6（5－4＋2）－2｝÷（3×5）
=16÷15……1
（15×□＋1）÷8=□…－5
｛105（8－5－1）＋1｝÷（8×15）
=211÷120……91
方法三解：
② 负基数，负余数
（3×□－2）÷5=□…－4
｛9（5＋4－2）－2｝÷（3×5）
=61÷15……1
（15×□＋1）÷8=□…－5
｛15（8＋5＋1）＋1｝÷（8×15）
=211÷120……91
方法三解：
④ 负基数，正余数
（3×□＋1）÷5=□……1
｛9（5－1＋1）＋1｝÷（5×3）
=46÷15……1
（15×□＋1）÷8=□……3
｛15（8－3＋1）＋1｝÷（8×15）
=91÷120……91
答案□=91
再证，用"剩余倍分法"解："物不知数"
3……2
□÷ 5……3
7……2
根据反证法：下式余数的少数，是上式（例5÷3=商1余2，如果=商2就少1）的"补充数"，称负余数。
3……2少1
□÷5……3少2
7……2少5
用倍分法计算出正、负基数：
正基数70＋21＋15=106
除 数 3× 5× 7 =105
负基数35＋84＋90=209
用式剩余倍分法、方法一解：余数×基数各项相加，处以乘积余数既是。
① 用正基数,正余数解：
（2×70＋3×21＋2×15）÷（3×5×7）
=233÷105……23
② 用正基数，负余数解：
（1×70＋2×21＋5×15）÷（3×5×7）
=187÷105……82
③ 负基数，负余数解
（1×35＋2×84＋5×90）÷（3×5×7）
=653÷105……23
④ 负基数，正余数解：
（1×35＋2×84＋5×90）÷（3×5×7）
=502÷105……82
用23还原减余数，加少数。
用82还原加余数，减少数。用-82还原减余，加少数。（低级学校不能接受）
以上解法与"孙子定律"基本相同，但是有两种答案。
如果用"剩余倍分法"互除余一 互除少一计算不存在以上两个答案。
方法二解：
① 用正基数，正余数
（3×□＋2）÷5=□……3
｛6（5＋3－2）＋2｝÷（5×3）
=38÷15……8
（15×□＋8）÷7=□……2
｛15（7＋2-8）＋8｝÷（7×15）
=23÷105……23
方法二解
② 用正基数，负余数
（3×□－1）÷5=□…－2
｛6（5－2＋1）－1｝÷（3×5）
=23÷15……8
（15×□＋8）÷7=□…－5
｛15（7－5－8）＋8｝÷（7×15）（据说明：7可以扩大2倍数）
=23÷105……23
方法三解：
③ 负基数，负余数
（3×□－1）÷5=□…－2
｛9（5＋2－1）－1｝÷（3×5）
=53÷15……8
（15×□＋8）÷7=□…－5
｛90（7＋5＋8）＋8｝÷（7×15）
=1808÷105……23
方法三解
④ 负基数，正余数
（3×□＋2）÷5=□……3
｛9（5－3＋2）＋2｝÷（5×3）
=38÷15……8
（15×□＋8）÷7=□……2
｛90（7－2＋8）＋8｝÷（7×15）
=1178÷105……23
答案□=23
从以上对比认为"孙子定理"，解法复杂，有时还不稳定，"剩余倍分法"不管在那种情况下都稳定，且解法简单，便于普及推广，更适用于解应用题。
例： 一个住校生，家里每星期给他36元生活费。该生每天实际只用生活费5元，某天他小姨到学校看他并给了50元钱，他用此钱买了两本喜爱的课外读物花10元，买学习用具花2元，放假回家后说明情况并给家长交回55元。
问：该生带几个星期的生活费？实际在校住几天？一共有多少钱？花去多少钱？
用方法二解：
列式（36×□＋50－10－2）÷5＝□……55元
｛36×（5＋55-50＋10＋2）＋50－10－2｝÷（5×36）
＝（36×22＋50－10－2）÷180
＝830÷180……110
答; 1，（110－50＋10＋2）÷36＝2， （括号内□内最小数）
2，（110－55）÷5＝11， （括号外□内最小数）
3 36×2＋50＝122，
4，122－55＝67。
答：该生带2个星期的生活费，实际住校11天，一共有122元，花去67元。
“中国剩余定理”————————韩信点兵
我国有一本数学古书「孙子算经」有这样一道问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？」
此题的意思是：有一批物品，三个三个地数，剩两个；五个五个地数，剩三个；七个七个地数，剩两个。问这批物品至少有多少个？
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」
这是解答。意思是2×70+3×21+2×15=233,233-105-105=23.
后面是法则, 明代数学家程大位在其<算法统宗>里用口诀“:三人同行七十稀,五树梅花廿一,七子团圆月正半,除百零五便得知.”表达的。
这个口诀的意思是：把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，结果若是比105大，就减去105的倍数，便得所求的数。
这就是被称之为“中国剩余定理”。
同余知识：
如果整数a、b都除以自然数n,所得余数相同,就称为a与b对于模n同余,记作a≡b(modn).
例如13与8分别除以5, 所得余数都是3,所以13与8对于模5同余,即13≡8(mod5).
T同余的常用性质:
⑴如果两个整数a与b对于模n同余,那么它们的差一定能被n整除.逆之亦真.
⑵同一个模n的两个同余式可以相加、相减、相乘.即如果 a≡b(mod n),c≡d(mod n),那么
A+c≡b+d(mod n), a-c≡b-d(mod n), a×c≡b×d(mod n).
⑶同余的两个数分别加上模的倍数后,仍然同余; 同余的两个数扩大同样的倍数后,仍然同余.

热心网友 时间：2022-06-29 02:07

34
被5除余4，末尾只能（0+4）4或（5+4）9
再被4除余2，那末尾只能4，9的话余数只能是单数
在被3除余1，你就在前面加，本身4是被3除余1的，能被3整除的各个位数上的数相加要被3整除，所以前面只能加被3整除的数，然后再结合被4除余2，

热心网友 时间：2022-06-29 02:07

因为20被3除余2
×2则余4
余数是4比3大
所以应该余1
其他同理

热心网友 时间：2022-06-29 02:08

20×2、15×3、12×3
的目的
：
既要保证20、
15、
12还是〔4，5〕；〔3，5〕；〔3，4〕的公倍数，还要是能满足（使20被3除余1……）条件得最小的数，比如，先把这个数乘以2看下是否合格，不合格再把这个数乘以3……知道合格为止。

热心网友 时间：2022-06-29 02:08

这是他自己虚拟的，为了满足“20被3除余1”、“15被4除余1”、“被5除余1”的条件，自己添加的。