...的三个侧面都是等腰直角三角形,侧棱长为a,求其内切球的体积...

发布网友发布时间：2024-04-17 05:19

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热心网友时间：2024-04-18 16:17

题意可知：底面为正三角形，边长为：√（a²+a²）=√2 a.
从最高顶点(编号A)做底面的垂线（椎体高AE），做一底边的垂线（椎侧面高AG），可知球心在椎体高AE上，球在侧面的切点在AG上。为方便，球心编号为O，在侧面的切点为F。球半径为R.
则：连接GE,并延长至底面一顶点B。（或BG为底面三角形高、中线都行，反正是正三角形，高、中线合一了）。
（准备工作完成，开始计算了。）
BG=底边长*cos60°=√2 a * √3/2=√6 a /2（2分之根号6倍的a）
EG=BG/3=√6 a /6，BE=2/3*BG=√6 a /3
AE=√（a²-BE²）=√3 a /3
相似关系有：AO/AE=R/EG, AO=AE-R
(AE-R)/AE=R/EG 变形后为：1/R=1/EG+1/AE，代入数值：
1/R=6/(√6 a)+3/(√3 a )，得R=√6 a/(6+3√2) =0.239a
体积V=4/3*3.14*R³=4/3*3.14*（0.239a）³=0.057a³ 。
算的晕晕乎乎，你自己好好检查下吧。