数列极限唯一性证明

探索数列极限的独特性质：唯一性、有界性、保序性与保号性的证明一、极限的独特性：唯一性 当一个数列 \( (a_n) \) 有极限 \( L \)，即对任意小的 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( N \) 使得对于所有 \( n > N \)，有 \( |a_n - L| < \epsilon \)，那么极限是唯一的。...

证明如下：假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a0，当0<丨x-x。丨＜δ1时，使得丨f（x）－a丨＜ε成立。总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨＜δ2时，使得丨f（x）－b丨＜ε成立。上面的不等式可以等价变换为a-ε＜f（x）＜a+ε①和b-ε＜f（x）＜b+ε②。令...

证明：假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的e，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有 |an-A|<e 取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有 |an-A|<(B-A)/2 即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2 即（3A-B）/2<an<(A+B)/2。数列（sequence of...

在证明极限存在与否的问题中，极限的唯一性可以直接使用，不必加以证明，极限的唯一性可作为定理使用，而平时证明题时，定理是不用加以证明的; 收敛数列的极限的唯一性证明如下:证明：假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的ε，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有 ...

简单计算一下即可，答案如图所示

以数列{xn}的极限为例。当n→∞时若xn→a,且xn→b,a>b.取ε=(a-b)/2,存在正整数N,使得当n>N时|xn-a|<ε,∴a-ε<xn<a+ε,① 同理b-ε<xn

只要取0 < ε < (b-a)/2就可以了啊，这样b的ε邻域和a的ε邻域不相交，第N项之后的项不可能同时在两者之中

证明极限存在的判断方法：分别考虑左右极限。极限存在的充分必要条件是左右极限都存在，且相等。极限的性质：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛...

对 任意的 ε>0, ... |A-B| < 2ε ,从而 |A-B| =0。这个讲到这儿应该就再明白不过了，0≤|A-B| 能小于任何一个 正数，那 当然只有： |A-B|=0 了，即：A=B 到此就好，再往下讲，那就比较麻烦了，即 实数的 【阿基米德性】：对任意 0<ab 。。。balabalabala。。。

先看唯一性如何证明出来：设：lim an=a，同时，lim an=b，则证：a=b 根据定义：任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε/2 对上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|an-b|<ε/2 取N=max{N1,N2}，则当n>N，上两不等式都成立 于是，|a-b|≤|an-a|+|an-b|<ε/2+ε/2=ε...