已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是(0,-√5),离心率为√...
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发布时间：2024-04-21 16:41
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时间：2024-08-20 01:12
和F₂; ①求椭圆方程; ②点M在椭圆上 求三角形MF₁F₂面积的最大值 ；③试探究椭圆上是否
存在一点P，使向量PF₁•PF₂=0； 若存在 请求出点P的坐标 ；若不存在 请说明理由。
解：(1).a=√5；e=c/a=c/√5=√6/6，故c=(√30)/6；b²=a²-c²=5-(30/36)=5-(5/6)=25/6；
于是得椭圆方程为x²/5+y²/(25/6)=1，即5x²+6y²=25.
(2).焦点F₁(-(√30)/6，0)；F₂((√30)/6，0)；设M(x，y)；那么ΔSΔMF₁F₂的面积：
SΔMF₁F₂=(1/2)×2c×y=[(√30)/6]y≦[(√30)/6]b=[(√30)/6]×√(25/6)=(5/6)√5.
即三角形MF₁F₂面积的最大值=(5/6)√5。
(3)。设P(x，y)，则PF₁=(x+(√30)/6，y)；PF₂=(x-(√30)/6，y)；
PF₁•PF₂=[x+(√30)/6][x-(√30)/6]+y²=x²-30/36+y²=x²+y²-5/6=0...........(1)
设x=(√5)cost，y=[5/√6)]sint，代入(1)式得：
5cos²t+(25/6)sin²t=5/6
化简得6cos²t+5sin²t=1
即有cos²t+5=1，cos²t=-4，无解，故不存在那样的点P，能使PF₁•PF₂=0。
