求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+... ...+2011|x-2011|的最小值?
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发布时间：2024-04-21 06:36
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时间：2024-10-11 09:02
求解此题分二步，第一步求出该式取最小值时的x值，也即项数；
第二步求出该最小值。
(1)解析：设f(x)= |x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+k|x-k|+...+n|x-n|, 其图像为U形折线段
设k∈(0,n+1),k∈Z+
F(x)=(x+2x+3x+…+kx)-(1^2+2^2+3^2+…+k^2) +(k+1)[(k+1)-x]+…+n(n-x)
=(x+2x+3x+…+kx)-(1^2+2^2+3^2+…+k^2) +(k+1)[(k+1)-x]+…+n(n-x)
-[(k+1)x+(k+2)x+…+nx]+[(k+1)^2+(k+2)^2+…+n^2]
取出含x项，当x<k时，其折线段斜率<0，当k项为最小值时，该项系数>=0
(x+2x+3x+…+kx)-[(k+1)x+(k+2)x+…+nx]=(1+k)kx/2-(k+1+n)(n-k)x/2=(2k^2+2k-n^2-n)x/2
即2k^2+2k-n^2-n)/2>=0
则，k>=1422
(2)解析：设|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+... ...+n|x-n|
|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+... ...+n|x-n|=(x+2x+3x+…+nx)-(1^2+2^2+3^2+…+n^2)
=(x+2x+3x+…+x*x)-(1^2+2^2+3^2+…+x^2)+(x+1)|x-(x+1)|+…+n|x-n|
=(x+2x+3x+…+x*x)-(1^2+2^2+3^2+…+x^2)-(x+1)(x-(x+1))-…-n(x-n)
=(x+2x+3x+…+x*x)-(1^2+2^2+3^2+…+x^2)+(x+1)*1+(x+2)*2+…+n(n-x)
= (1+x)x^2/2-x(x+1)(2x+1)/6+(n-x+1)(n-x)x/2+(n-x)(n-x+1)(2n-2x+1)/6
∵n=2011
当x=1421时，原式=794601400
当x=1422时，原式=794598996
当x=1423时，原式=794599436
∴当x=1422时，原式取最小值为794598996
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时间：2024-10-11 08:58
当x<=1时f(x)=(-1-2-3...-2011)x+b1 b表示不包括x的项的和
当1<=x<=2时f(x)=(1-2-3...-2011)x+b2
当2<=x<=3时f(x)=(1+2-3...-2011)x+b3
...
当2010<=x<=2011时f(x)=(1+2+3...-2011)x+b2011
当2011<=x时f(x)=(1+2+3...+2011)x+b2012
可以发现原式的图像是一个沿着x轴正方向，f(x)的斜率是一直增大的,即刚开始是减函数，后面是增函数
当a<=x<=a+1时有x的系数1+2+3+...+a-(a+1)-(a+2)-....-2011 （a为整数）
=(1+a)a/2-(a+1+2011)(2011-a)/2>0
2a^2+2a-2012*2011>0
a>=1422
所以f(x)在[1422,1423]开始递增，
在[1421,1422]是递减的
所以f(x)min=f(1422)
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时间：2024-10-11 08:58
OK了，这儿是绝对值不等式比较巧妙的运用，讲绝对值内换位置，刚好可以消去x，再用平方差公式，最后得到一个等差数列。
热心网友
时间：2024-10-11 09:02
为什么说是1006了，因为 像这样的式子都是先求零点和 ，在求零点的平均数，这个平均数就是能让这个式子的值为最小值。
