【数据科学之基础思维系列】第2讲:向量的基本运算和范数

发布网友发布时间：2024-04-21 05:46

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热心网友时间：2024-05-12 00:27

数据科学基础思维系列第二讲：探索向量的运算与范数世界

在上一讲中，我们揭开了向量和矩阵的神秘面纱。今天，我们将深入探讨向量的四重奏：转置、加法、数乘和内积，以及它们在实际问题中的应用。

向量转置：在Python中，对单个向量进行转置时，需特别注意，将其转换为矩阵形式，以便进行操作。这一转换能够帮助我们更好地理解和处理数据。

向量加法：如同数学中的基本法则，向量加法既满足交换律也满足结合律，为我们构建复杂的数据结构提供了基础。
数乘：这个操作赋予向量以缩放能力，无论是放大还是缩小，都是通过标量与向量的乘积来实现的，对数据分析尤为重要。
内积（点乘），也称为标量积，有着广泛的应用，例如情感分析中的相似度计算。通过计算两个向量的内积，我们可以揭示它们的相似程度。
实战示例：考虑一个关于年龄的数据集，我们可以用向量来表示年龄分布、总人数、以及年龄超过某个值的总人数，通过内积来计算平均年龄，直观地理解数据分布。

向量的运算不止于此。让我们继续探索：外积，在二维中代表面积，三维时涉及标准单位向量和右手定则，是理解空间关系的关键。

Hadamard积，则是通过元素对应相乘，常用于股票价格变化的分析，捕捉每个元素的同步变化。
范数与距离：引入范数，如同一把尺子，衡量向量间的距离，L1、L2和L∞范数各自对应着曼哈顿、欧式和切比雪夫距离，它们在模型预测、KNN和k-means聚类中发挥着重要作用。
连接几何与统计：内积与相关系数之间存在着深刻的联系。内积不仅体现了向量间的余弦相似度，还与Pearson相关系数紧密相连。当期望值为零时，相关系数简化为内积，揭示了数据间的几何相似性，从而将统计学中的相关性映射到向量空间的几何概念上。
下一站：我们将深入探讨线性相关性和向量空间的深度内涵，让我们共同期待更多数据科学的奥秘。别忘了，在探索的道路上，你的支持与关注是我们的动力源泉。