某同学在测定一厚度均匀的圆形玻璃的折射率时,先在白纸上作一与...
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发布时间：2024-04-08 09:11
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时间：2024-07-18 23:30
f′（x）=-12x+1x+1=-(x+2)(x?1)2(x+1)（x＞-1），
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），
只需g（x）max≤0即可．
g′（x）=2ax+1x+1-1=x[2ax+(2a?1)]x+1，
（ⅰ）当a=0时，g′（x）=?xx+1，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
（ⅱ）当a＞0时，令g′（x）=x[2ax+(2a?1)]x+1=0，因x∈[0，+∞），所以x=12a-1，
①若12a-1＜0，即a＞12时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若12a-1≥0，即0＜a≤12时，函数g（x）在（0，12a-1）上单调递减，在区间（12a-1，+∞）上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
（ⅲ）当a＜0时，g′（x）=x[2ax+(2a?1)]x+1，
∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．
（3）因为ln（x+1）≤x，且2n(2n?1+1)(2n+1)=2（12n?1+1-12n+1），
所以ln{（1+22×3）（1+43×5）（1+85×9）?…?[1+2n(2n?1+1)(2n+1)]}
=ln（1+22×3）+ln（1+43×5）+ln（1+85×9）+…+ln[1+2n(2n?1+1)(2n+1)]＜22×3+43×5+85×9+…+2n(2n?1+1)(2n+1)
=2[（12-13）+（13-15）+（15-19）+…+（12n?1+1-12n+1）]
=2[（12-12n+1）]＜1，
∴ln{(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)?…?[1+2n(2n?1+1)(2n+1)]}＜1．
