已知椭圆 左、右焦点分别为F 1 、F 2 ,点P(2, ),点F 2 在线段PF 1 的...
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发布时间：2024-04-07 19:36
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时间：2024-07-21 06:54
试题分析：（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F 1 （-c，0），F 2 （c，0）又点F 2 在线段PF 1 的中垂线上，推断|F 1 F 2 |=|PF 2 |，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），根据韦达定理可表示出x 1 +x 2 和x 1 x 2 ，表示出直线F 2 M和F 2 N的斜率，由直线F 2 M与F 2 N的斜率互为相反数，可推断两直线斜率之和为0，把x 1 +x 2 和x 1 x 2 代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．
解：（1）由椭圆C的离心率 得 ，其中 ，椭圆C的左、右焦点分别为 又点F 2 在线段PF 1 的中垂线上
解得
（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为
由
消去 设
则 且
（8分）
由已知，得
化简，得
（10分）
整理得
直线MN的方程为 ，
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） （12分）．
