判断向量组是否线性无关

发布网友发布时间：2024-04-02 18:04

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热心网友时间：2024-04-08 05:42

先把向量组的各列向量拼成一个矩阵，并施行初等行变换变成行阶梯矩阵，若矩阵A秩小于向量个数m，则向量组线性相关；对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

扩展资料：

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。

热心网友时间：2024-04-08 05:43

解: (a1+ka2,...,an-1+kan,an+ka1)=(a1,...,an)P
P=
1 0 0 ... 0 k
k 1 0 ... 0 0
0 k 1 ... 0 0
... ...
0 0 0 ... 1 0
0 0 0 ... k 1

由于a1,...,an线性无关,
所以 r(S) = r(P).
因为 |P|=1+(-1)^(1+n)k^n --按第n列展开
所以, 当|P|≠0, 即 k^n≠(-1)^n 时, r(P)=n,
此时向量组S线性无关, 其秩 r(S)=r(P)=n.

当|P|=0, 即 k^n=(-1)^n 时, r(P)<n.
但|P|中有非零的n-1阶子式 (左上角)
所以 r(P)>=n-1.
故 r(P)=n-1.
此时向量组S线性相关, 其秩 r(S)=r(P)=n-1.