整环的整除理论

发布网友发布时间：2024-04-13 17:56

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热心网友时间：2024-12-03 01:34

一、基本概念与整环的特性

1-1. 整除与因子分解在整环中，如果存在非零元素使得，我们称是的因子，也称是的倍数。相伴元是指互相为对方的因子。一个元素是单位，当它存在逆元，即存在不为零的元素，使得。

1-2. 单位群与不可约元环中所有单位元组成的群被称为单位群。考虑相伴元，如和，它们之间可以相差非单位的乘积。不可约元是关键概念，若非零非单位且满足若，则至少有一个因子是单位。不可约元的相伴元同样不可约，例如在中，不可约元作为非平凡主理想的极大元。

1-3. 素元与素理想素元是指生成素理想的元素。素元同时也是不可约元，但不可约元不一定是素元，如的例子展示了这一点。

2-1. 最大公因子与整区在整区中，如果存在一个因子非全为零，且对所有因子都是它们的因子，那么称为它们的公因子。若对所有公因子都有，则称为最大公因子。例如，和在整区中无最大公因子，但如果有存在则有特定的性质。

2-2. 最大公因子整环如果任意两个非零元都具有最大公因子，那么整区称为最大公因子整环。在最大公因子整环中，不可约元同时也是素元。

3-1. UFD定义UFD（唯一分解整环）要求每个非零非单位元可以写成有限个不可约元的唯一乘积，且具有唯一分解性，即任何两个分解都存在相伴关系。

3-4. UFD的判定一个整区是UFD，当且仅当满足可分解性和不可约元为素元的条件。例如，PID（主理想整环）在满足这些条件时，就具备UFD特性。

4-1. PID的定义与性质PID是每个理想都是主理想的整环，它们是诺特整环，具有可分解性。PID中的素理想必定是极大理想，且不可约元直接对应极大理想。

4-3. Bezout定理在PID中，重要定理如贝祖定理表明线性组合能唯一表示出特定倍数，以及存在贝祖方程来表示整数关系。

5-1. 欧几里得整环定义一个整环称为欧几里得整环，当存在映射，满足除法性质：对于任意和，存在使得，且或者。

5-2. ED的性质欧几里得整环（ED）如，带余除法的特性确保了其特殊地位，如有限域、多项式的次数或形式幂级数的阶等都是ED的典型例子。