sinx线性无关吗?

发布网友发布时间：2024-04-13 16:27

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热心网友时间：2024-05-17 04:46

1,sinx,sin2x,……,sin(nx)都是属于[-π,π]的连续函数，而所有的这样的连续函数可以构成一个线性空间，而且是一个希尔贝特空间，可以定义内积。
而1,sinx,sin2x,……,sin(nx),......正好是其中的一组傅里叶正交基。
可以证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)中任意两个函数的内积为零，就说明它们相互正交，即线性无关了。
此内积定义为(1/2π)∫f(x)g(x)dx，其中f(x)和g(x)是连续函数，积分上下限是-π和π
∫sin(nx)dx=-[cos(nx)]/n
|(-π,π)=0，所以1和sinx,sin2x,……,sin(nx)都正交
∫sin(nx)sin(mx)dx=-m/(m²-n²)
sin(nx)cos(mx)-n/(n²-m²)
sin(mx)cos(nx)
|(-π,π)=0
所以sinx,sin2x,……,sin(nx)之间相互正交，所以1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关。
证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关的方法与前面不同，明显他们之间不是相互正交的。
同上我们还可以证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)和cosx,cos2x,……,cos(nx)之间都是相互正交的。
1,sinx之间线性无关以证，由于(sinx)^2可以由cos2x，1线性表出，而cos2x又与1,sinx线性无关。
所以1,sinx,(sinx)^2之间线性无关，俯俯碘谎鄢荷碉捅冬拉
同理依次可以推出(sinx)^3与1,sinx,(sinx)^2线性无关
(sinx)^4与1,sinx,(sinx)^2,(sinx)^3线性无关
.....
(sinx)^n与1,sinx,(sinx)^2,....,(sinx)^(n-1)线性无关。
得证。