如何证明一个集合在某一点稠密?

发布网友发布时间：2024-04-03 15:19

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热心网友时间：2024-06-15 13:21

稠密的定义：如果一个集合在一个空间的任意一个开集中都存在元素，那么我们称这个集合在这个空间中稠密。
设E是R的非空子集满足:
1.任给a,b∈R,存在z∈E,使得a<z<b，则E的闭包是R.
考虑x∈R,任给c>0,则x+c>x.于是存在c1>0,使得x<x+c1<x+c,且x+c1∈E.类似的可以选取到c2,c3,...使得{x+cn|n∈N-{0}}包含于E.现在来证明可以选取到cn,使得an=x+cn的极限是x.
反之,如果任意的cn满足了使得an均大于x,并且an单调(可知an收敛),则an收敛于a>x.但是由1.知可以选取到a'>0,使得x<x+a'<a,矛盾.
所以x是E的聚点,由x的任意性知E的闭包是R。
简单的证法就是：
设两个有理数a，b，a>b,
a-b=d, d为有理数，d不等于0，d/2也不等于0，
a-d/2为有理数，
a>(a-d/2)>b,